Indici de refractie in optica geometrica. definitii. proprietati

Indici de refractie. Definitii. Proprietati.

1. Definirea indicilor de refractie relativi si absoluti in optica geometrica

Refractia simpla este fenomenul de modificare a directiei de proare a luminii la traversarea suprafetei de separare a doua medii transparente omogene si izotrope, distincte. Intr-un mediu se proa raza incidenta iar in celalalt mediu raza emergenta refractata.

In acord cu principiul reversibilitatii razelor de lumina, geometria razei nu se schimba la proarea luminii in sens invers. Raza incidenta se proa acum in al doilea mediu iar raza emergenta , in primul pe acelasi drum. In optica geometrica, intersectia razei incidente considerate cu suprafata de separare a celor doua medii defineste punctul de incidenta. Perpendiculara in acest punct pe ul tangent la suprafata de separare in acelasi punct, reprezinta asa zisa normala la suprafata de separare in punctul de incidenta. Pentru o incidenta care nu este normala (adica pe directia normalei), raza incidenta (sau refractata) si normala in punctul de incidenta determina asa zisul de incidenta (sau de refractie). Unghiul dintre raza incidenta (respectiv refractata) si normala se numeste unghi de incidenta (respectiv refractie), si se noteaza cu i (respectiv r); daca mediul de incidenta (respectiv refractie) se numeroteaza cu 1 (respectiv 2), unghiul de incidenta (respectiv refractie) se poate nota cu i₁ (respectiv i₂) (. 1)

In optica geometrica, fenomenul de refractie este guvernat de urmatoarele doua legi empirice:

I.          Raza refractata se afla in acelasi cu raza incidenta si normala, de partea opusa razei incidente fata de normala

II.               Raportul dintre sinusul unghiului de incidenta si sinusul unghiului de refractie este o marime constanta pentru o pereche specificata de medii transparente, omogene si izotrope care se numeste indice de refractie relativ al mediului de refractie fata de cel de incidenta,

(1.)

Din definitie rezulta ca indicele de refractie este o marime adimensionala. Din definitia indicelui de refractie relativ in optica geometrica rezulta ca:

(2.)

Observatie: Daca se ia in consideratie natura ondulatorie electromagnetica a luminii si razele opticii geometrice se considera monocromatice, atunci, asa cum se constata experimental, indicele de refractie poate depinde de frecventa (sau pulsatia ) razei. Aceasta dependenta este caracteristica fenomenului de dispersie a luminii. In acord cu datele experimentale, de regula se considera ca la trecerea razei dintr-un mediu optic in altul, frecventa razei nu se modifica. Indicele de refractie al unu mediu fata de vid se numeste indice de refractie absolut al acelui mediu (si pentru mediile 1((i))) respectiv 2((r)) indicii de refractie absoluti se noteaza cu n₁ (n_i) respectiv n₂ (n_r). In consecinta indicele de refractie absolut al vidului este egal cu unitatea (deoarece la trecerea din vid in vid nu se produce refractie, i₂ = i₁). Este simplu de vazut ca indicele relativ al mediului (2) fata de mediul (1) este egal cu raportul indicilor absoluti ai celor doua medii:

(3.)

Intr-adevar, daca cele doua medii (1) si (2) se separa printr-un strat -paralel vid ((0)) geometria razelor incidenta in mediul (1) si refractata in mediul (2) nu se modifica deoarece unghiul de refractie pentru perechea ((1),(0)) este egal cu unghiul de incidenta pentru perechea ((0),(2)). (. 2)

Folosind principiul reversibilitatii razelor de lumina se obtine succesiv:

, ,

2 Forma Snell Dessectiunes a legii a II- a a refractiei

Substituind relatia (3) in relatia (1) se obtine succesiv

(4.)

Ultima relatie (4.) poate fi generalizata simplu in cazul unui sistem de mai multe straturi -paralele adiacente succesiv de medii transparente cu indicii de refractie absoluti n₁, n₂, n₃ (. 3.). Aceasta generalizare poarta numele autorilor (numindu-se legea Snell Dessectiunes a refractiei) si are exprimarea

(5)

Relatia (5) se obtine simplu folosind relatiile de tip (4) pentru perechile de medii ((1),(2)), ((2),(3)) s.a.m.d. si constatand ca fiecare pereche de relatii succesive contine un termen comun:

,

Rezulta astfel egalitatile (5).

Legea Snell Dessectiunes a avut un rol important in identificarea drumului optic ca invariant integral al opticii geometrice, descoperirea principiului egalitatii drumurilor optice (Malus - Dupin) conform caruia, indiferent de mediile optice si de suprafetele de discontinuitate strabatute, drumurile optice dintre doua suprafete de unda oarecare sunt egale pentru toate razele de lumina si formularea principiului lui Fermat care arata ca traiectoria reala a razei de lumina reprezinta o solutie extremala sau stationara pentru drumul optic.

Aceste legi au permis o abordare generalizata, unitara a opticii geometrice, extrem de eficienta in descrierea si proiectare sistemelor optice cu componente simple omogene si izotrope precum si a sistemelor optice cu componente neomogene si neizotrope.

In final mentionam ca daca , atunci caracterizam al doilea mediu optic ca fiind mai refringent decat primul (sau echivalent, primul mediu apare ca mai putin refringent decat al doilea). Relatia premisa si legea Snell Dessectiunes implica ; deoarece este o functie strict crescatoare pentru , deducem de aici inegalitatea . Astfel la trecerea dintr-un mediu in altul mai refringent, raza refractata se apropie de normala. Analog rezulta ca la trecerea dintr-un mediu in altul mai putin refringent raza refractata se indeparteaza de normala.

In ultimul caz este deci posibil ca pentru ; pentru incidente se produce fenomenul de reflexie totala, nu de refractie; raza incidenta nu mai traverseaza suprafata de separare ci se reflecta. Determinam l definit ca incidenta pentru care unghiul de refractie este egal cu , adoptand conventia ca mediul de incidenta mai refringent sa fie notat cu indicele 2. (. 4.)

Din conditia si legea Snell Dessectiunes deducem:

, , (6.)

3 Semnificatia indicilor de refractie in optica ondulatorie

Legea Snell Dessectiunes, care este o lege empirica in optica geometrica, poate fi construita deductiv in abordarile ondulatorii ale opticii geometrice conditionate de aplicarea principiului Huygens, precum si in abordarile de electrodinamica bazate pe proprietatile undelor electromagnetice.

Considerand primele abordari, amintim ca, in acord cu principiul lui Huygens, proarea luminii intr-un mediu se face ca si cum toate punctele mediului atinse de frontul de unda la un moment dat, t, devin surse de unde secundare, astfel ca la momentul ulterior , frontul de unda coincide cu suprafata infasuratoare a undelor secundare proate inainte (adica pe directii inclinate numai sub unghiuri ascutite fata de normalele locale la frontul de unda), nu si inapoi. (Ultima precizare evidentiaza ca principiul Huygens este un postulat specific opticii). In mediile omogene si izotrope undele secundare sunt sferice si fronturile de unda sunt infasuratoare succesive ale undelor secundare succesive care se proa omogen si izotrop, astfel ca frontul de unda isi pastreaza forma generica initiala. In acest context sa consideram refractia unei unde e (cu frontul de unda ) la traversarea unei suprafete e care separa doua medii optice omogene si izotrope. Notam vitezele de faza ale undelor e in mediile (1) si (2) cu v₁, respectiv v₂ (presupunand pentru precizarea problemei ca

v₁> v₂). Conform . 5 portiunea a frontului incident se proa, pe baza mecanismului Huygens, cu viteza v₁ pe directia normala pe frontul de unda .

Pe masura ce punctele frontului ating suprafata de separare a celor doua medii, pe aceasta se activeaza surse secundare de unde sferice de la care lumina se proa in mediul al doilea. Infasuratoare momentana a suprafetelor de unda pentru acestea determina frontul de unda momentan in al doilea mediu care are tot caracter , dar directia de proare a noului front de unda difera de cea din primul mediu deoarece viteza de proare este alta, v₂. Am presupus v₂ < v₁, deci in timpul in care lumina se proa de la la in primul mediu, va strabate o distanta in mediul al doilea. Frontul este perpendicular pe directia de proare si deci, se proa pe noua directie .

Frontul de unda care la momentul t era in pozitia in primul mediu, capata la momentul pozitia in mediul al doilea.

Folosind relatiile

v₁Δt,

v₂Δt

si geometria evidenta triunghiurilor dreptunghice , cu ipotenuza comuna se obtine succesiv:

Indicele de refractie relativ al mediului (2) fata de mediul (1) este egal cu raportul dintre viteza de proare a luminii in mediul (1) si viteza de proare a luminii in mediul (2).

La trecerea in mediul (2), razele se apropie de normala deoarece viteza luminii in noul mediu este mai mica decat viteza luminii in primul mediu.

In particular, notand cu c viteza luminii in vid, obtinem exprimarea similara a indicilor de refractie absoluta (adica ai celor doua medii fata de vid),

cu satisfacerea relatiei

Deoarece pentru orice mediu material e satisfacuta relatia v, se obtin relatiile , . De regula, mediile (solutiile) mai dense sunt mai refringente, viteza luminii in acestea fiind mai mica decat viteza acesteia in medii mai putin dense.

4 Exprimarea vitezei luminii si a indicilor de refractie in optica electromagnetica

Ecuatiile lui Maxwell, care sunt ecuatiile de baza ale electrodinamicii, admit si in vid, in absenta substantei, a surselor, solutii netriviale de tip unda. Din ecuatia undelor electromagnetice construita in acest context prin identificarea patratului vitezei luminii in vid din ecuatia undelor cu constanta care se structureaza in ecuatia similara pe baza ecuatiilor Maxwell, rezulta urmatoarele exprimari ale vitezelor undelor electromagnetice si implicit optice:

unde si sunt permitivitatile electrice absolute pentru vid respectiv pentru mediul de substanta considerat, fiind permitivitarea relativa a mediului, iar si sunt permeabilitatile magnetice pentru vid, respectiv pentru mediu, fiind permeabilitatea magnetica relativa a mediului.

Constantele si si implicit viteza undelor electromagnetice in vid, c, nu depind de frecventa acestora. In schimb permitivitatile electrice si permeabilitatile magnetice absolute si implicit cele relative pot depinde sensibil de frecventa undelor electromagnetice astfel ca viteza undelor in mediul material v_mediu si implicit lungimea de undasi indicele de refractie n pot depinde de frecventa. Aceasta dependenta defineste fenomenul de dispersie. Mediile materiale pentru care aceasta dependenta nu poate fi neglijata in intervalul optic de frecvente se numesc medii dispersive.

Deoarece la trecerea undei luminoase electromagnetice dintr-un mediu intr-altul, de regula nu se modifica frecventa sau perioada undei ci viteza acesteia, putem deduce simplu modificarea lungimii de unda la aceeasi frecventa prin trecerea luminii din vid in mediul material. Se obtine:

unde si sunt lungimile de unda ale luminii in mediu, respectiv in vid.

Daca descriem o unda a intr-un mediu, in general, prin proarea fara amortizare cu viteza v a perturbatiilor armonice aflate in faza, din toate punctele unui , pe directia perpendiculara pe , atunci ecuatia undei e exprima faptul ca perturbatia armonica la momentul t intr-un perpendicular pe directia de proare, situat la distanta x de ul sursa coincide cu perturbatia momentana din acest la momentul , unde este timpul necesar proarii perturbatiei pe directia axei Ox de la ul sursa la ul curent considerat la distanta x. Indiferent de natura marimilor definite in si supuse perturbatiilor armonice in ul sursa pentru care alegem x = 0 se obtine o evolutie a perturbatiilor de tipul :

astfel ca ecuatia undei care descrie dependenta perturbatiei de pozitia x si timpul t capata forma

A este amplitudinea perturbatiilor sursei, pulsatia acestora, faza initiala si faza momentana la nivelul sursei.

In ecuatia undei e , A isi pastreaza semnificatia iar faza undei depinde de pozitia x a ului si timp dupa legea

Folosind relatiile cunoscute pentru perturbatiile armonice si anume

, ,

(cu K marimea vectorului de unda) putem rescrie faza momentana a undei sub forma :

.

Daca exprimam lungimea de unda a undelor prin lungimea de unda in vid si indicele de refractie n al mediului de proare , obtinem urmatoarea exprimare a fazei :

care pune in evidenta produsul cu ajutorul carui se exprima drumul optic.

Drumul optic diferential se exprima prin produsul dintre indicele de refractie al mediului strabatut de lumina si lungimea arcului diferential pe traiectorie, toate luate intr-un punct P al traiectoriei, .

Integrala acestei forme diferentiale pe traiectoria razei de lumina, intre doua puncte P₁ si P₂ reprezinta marimea drumului optic parcurs de lumina pe traiectoria razei de lumina, intre punctele P₁ si P₂.

Daca indicele mediului este constant drumul optice devine egal cu produsul dintre indicele de refractie si lungimea drumului geometric parcurs pe traiectorie

In final este important sa mentionam ca legea a doua a refractiei si implicit legea Snell Dessectiunes exprima, in optica electromagnetica, relatia de continuitate la traversarea suprafetei de separare a mediilor, pentru componenta tangentiala a vectorilor de unda (in cele doua medii).

Amintim ca vectorul de unda K pentru o unda monocromatica are modulul si directia si sensul vitezei de proare. este un vector constant in cazul undei e monocromatice.

In ura 6 se reprezinta vectorii de unda pentru undele e incidente si refractate. Cei doi vectori fac cu normalele unghiuri egale cu cel de incidenta (i₁), respectiv de refractie (i₂). Se considera refractia luminii la trecerea din vid (1) in mediul material (2)

Conditia de continuitate pentru componenta tangentiala a vectorului de unda conduce la egalitatea proiectiilor acestor vectori pe ul de separare a mediilor:

ceea ce implica